和差化积公式推导过程(三角函数的和差化积公式)

和差化积公式怎么证明？

推导过程：

可以用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。

由和角公式有：

两式相加、减便可得到上面的公式，同理可证明公式。

对于（5）、（6），有：

证毕。

扩展资料

记忆方法

1、只记两个公式甚至一个

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的，即，这就可以用第一个公式。同理，第四个公式中，，这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把余弦全部转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。用的时候想得起一两个就行了。

2、结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2] ，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

故最后需要乘以2。

参考资料：百度百科-和差化积公式

三角函数和差化积公式的推导过程

三角函数和差化积公式的推导过程可以用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到。

推导过程

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

【三角函数积化和差公式】推导过程是什么

积化和差公式是三角函数中的重点，那么三角函数积化和差公式有哪些呢?下面和我一起来看看吧!

三角函数积化和差公式有哪些

积化和差

和差化积公式推导过程(三角函数的和差化积公式)

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

和差化积公式推导过程(三角函数的和差化积公式)

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

和差化积公式推导过程(三角函数的和差化积公式)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

如何记忆三角函数积化和差公式

对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。如果觉得以上内容不够详细，可以点击查看 积化和差公式 相关文章，了解更多!

积化和差公式推导过程

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]...(1)

两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]...(2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加得： cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]...(3)

两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]...(4)

用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b 就可得到和差化积的四个式子。 如：(1)式可变为：

sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2] 其它依次类推即可。

和差化积公式推导过程是怎么样的？

和差化积公式推导过程如下：

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

同角三角函数：

（1）平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

积化和差公式怎样推导？

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积以及积化和差公式的推导非常简单。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这种最基本的三角函数展开公式，就能轻松掌握8个公式的推导

首先、下面这几个都是高中的内容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ④

我们看积化和差公式，我们要找的积是

sinαcosβ、sinαsinβ这种。

看①②两个式子，sinαcosβ当作x cosαsinβ当作y。那么①②两个式子就相当于一个方程组了，那么很容易就能解出sinαcosβ，cosαsinβ。同理式子③④也是

于是得到积化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

扩展资料：

得到积化和差的公式后，只要在做一个小的变换就能得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

则，α=(a+b)/2 β=(a-b)/2

积化和差公式改写为

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

就得到了我们的积化和差公式。

参考资料：百度百科-积化和差