什么样的函数具有周期性(周期函数的特点)

周期函数（掌握好函数的周期性）

函数，大家都很熟悉，可以说是中学数学学习阶段最主要、最核心的内容之一。一个人如果要想学好数学，在中考高数学中取得高分，那么他就必须学好函数，掌握好函数所有知识内容。因此，可以毫不夸张地说，函数是整个中学数学的基础。

函数的知识内容之所以会成为中高考数学的重点与热点，那是因为跟函数相关的题型，可以千变万化、多种多样，能很好考查大家运用知识解决问题的能力，考查大家数学逻辑能力，考查大家在数学解题过程中表现出来的思维能力等等。

因此，今天我们就一起来讲一讲函数当中非常重要的一个性质，就是函数的周期性。函数的周期性是作为函数的一个基本性质，不仅常常出现在数学函数问题当中，而且我们如果利用函数的周期性去解决问题，往往能使一个复杂问题得到更加简便的解决。

什么是函数的周期性？

周期性这个词组从语文的角度来说，就是有规律地重复出现。

因此，对于任意实数（自变量有意义），当我们的自变量增大或减小时，函数值有规律的重复出现，我们就称之为周期性。

用具体数学语言去讲就是：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)（其中a+b=T）,则说T是函数的一个周期，T的整数倍也是函数的一个周期。

典型例题1：

关于y＝f(x)，给出下列五个命题：

①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)是周期函数；

②若f(1－x)＝－f(1＋x)，则y＝f(x)为奇函数；

③若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则y＝f(x)为偶函数；

④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；

⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．

填写所有正确命题的序号________．

解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函数周期为2，①正确；

由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的对称中心为(1,0)，②错；

y＝f(x－1)向左平移1个单位得y＝f(x)，故y＝f(x)关于y轴对称，③正确；

两个函数对称时，令1＋x＝1－x得x＝0，故应关于y轴对称，④错；

由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)关于x＝1对称，⑤错。

故正确的应是①③.

答案：①③

大家要记住一个概念，就是最小正周期。

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

简单地说：在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。

如对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。

值得注意：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。

周期函数性质：

1、若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

2、若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

3、若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

4、若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

5、T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）

6、若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

7、周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

重要推论：

1、若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|

2、若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|

3、若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|

同时，在很多数学问题当中，周期性问题往往会和函数的奇偶性联系在一起。周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。因此，大家如果想要更能更好的去解决周期性类问题，也要深入掌握好函数奇偶性的性质，如奇、偶函数的有关性质：

1、定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

2、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；

3、若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

4、利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

典型例题2：

大家一定要记住，利用函数的周期性是求解周期函数问题是基本的方法。此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题。

在研究函数周期性过程中，我们发现函数的周期性还充分体现了数学美。函数学习，不要想的太枯燥，要学会从抽象的背后发掘数学美，发掘内在的数学思想，最终提升自身的数学素养。